1996 年考研数学（三） 第 20 题

掷骰子定系数问方程根 → 古典概型，列 $36$ 个等可能 $(B,C)$，把「判别式 $\ge 0$ / $=0$」翻译成对 $C$ 的计数。坑：重根要求判别式恰等于 $0$（$B^2=4C$），只有 $(2,1),(4,4)$ 两点。

本题考查古典概型（等可能计数）。 样本点总数 $6\times 6=36$，每个有序对 $(B,C)$ 等可能。

有实根 $\iff B^2-4C\ge 0\iff B^2\ge 4C$；有重根 $\iff B^2=4C$。按 $B=1,\cdots ,6$ 逐一数满足 $B^2\ge 4C$ 的 $C$ 个数：$B=1$ 时 $0$ 个；$B=2$ 时 $1$ 个（$C=1$）；$B=3$ 时 $2$ 个（$C=1,2$）；$B=4$ 时 $4$ 个（$C\le 4$）；$B=5$ 时 $6$ 个；$B=6$ 时 $6$ 个。

有实根的样本点数 $=0+1+2+4+6+6=19$，故 $p=\frac{19}{36}$。有重根 $B^2=4C$ 只有 $B=2,C=1$ 与 $B=4,C=4$ 两种，故 $q=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$。