1996 年考研数学（三）第 21 题

解答题 · 6 分

假设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本，已知

E (X^{k}) = a_{k} (k = 1, 2, 3, 4)

，证明：当

n

充分大时，随机变量

Z_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

近似服从正态分布，并指出其分布参数。

提示 1

令

Y_{i} = X_{i}^{2}

，它们独立同分布，对样本均值型

\frac{1}{n} \sum Y_{i}

用中心极限定理。

提示 2

算

E (X_{i}^{2}) = a_{2}

、

D (X_{i}^{2}) = E (X_{i}^{4}) - [E (X_{i}^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2}

。

提示 3

Z_{n}

的均值为

a_{2}

、方差为

\frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n}

。

答案与详解

答案 $Z_{n}$ 近似服从正态分布 $N (a_{2}, \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n})$ （均值 $a_{2}$ ，方差 $\frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n}$ ）。

思路（为什么这么做）

n

大、独立同分布之和/均值近似正态 → 中心极限定理；参数就是单项的

E, D

换算成均值方差（方差要除以

n

）。坑：

D (X_{i}^{2})

用

E (X^{4}) - [E (X^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2}

，别错写成

a_{4} - a_{2}

。

解答

本题考查独立同分布中心极限定理。 令

Y_{i} = X_{i}^{2}

，则

Y_{1}, \dots, Y_{n}

独立同分布。

计算单项数字特征：

E (Y_{i}) = E (X_{i}^{2}) = a_{2}

，

D (Y_{i}) = E (X_{i}^{4}) - [E (X_{i}^{2})]^{2} = a_{4} - a_{2}^{2}

。于是

E (Z_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E (Y_{i}) = a_{2}

，

D (Z_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} \sum_{i = 1}^{n} D (Y_{i}) = \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n}

。

由列维–林德伯格中心极限定理，

\frac{Z _{n} - a _{2}}{( a _{4} - a _{2}^{2} ) / n}

当

n \to \infty

近似服从标准正态

N (0, 1)

，故

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}

近似服从

N (a_{2}, \frac{a _{4} - a _{2}^{2}}{n})

。

1996 年考研数学（三） 第 21 题