1996 年考研数学（三） 第 3 题

「曲线某点切线过原点」→ 写切线 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 代入原点，并联立点在曲线上。坑：$(x_0,y_0)$ 同时满足曲线方程，两式联立才能消掉 $y_0$，结果 $b$ 自由。

本题考查导数的几何意义（切线）。 切线斜率 $=y^{\prime }(x_0)$，再用「切线过原点」定出系数关系。

$y^{\prime }=2ax+b$，在 $(x_0,y_0)$ 处的切线为 $y-y_0=(2a{x}_0+b)(x-x_0)$。切线过原点，把 $(0,0)$ 代入：$-y_0=(2a{x}_0+b)(-x_0)$，即 $y_0=2a{x}_0^2+b{x}_0$。

又 $(x_0,y_0)$ 在抛物线上：$y_0=a{x}_0^2+b{x}_0+c$。两式相减 $a{x}_0^2+b{x}_0+c=2a{x}_0^2+b{x}_0$，得 $c=a{x}_0^2$（$b$ 可取任意常数）。