1996 年考研数学（三） 第 4 题

系数矩阵是范德蒙德矩阵且 $a_i$ 互异 → 行列式非零、克拉默法则求解；观察常数列是否与某列相同可秒杀。坑：$\mathbf{B}=(1,\cdots ,1{)}^{\mathrm{T}}$ 恰为 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 第一列，故只有 $x_1=1$，其余为 $0$。

本题考查范德蒙德行列式与克拉默法则。 $\mathbf{A}$ 是范德蒙德矩阵，$|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|=|\mathbf{A}|=\prod _{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)\ne 0$，故方程组有唯一解。

用克拉默法则：$D_j$ 为将 $|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|$ 的第 $j$ 列换成 $\mathbf{B}=(1,1,\cdots ,1{)}^{\mathrm{T}}$ 所得行列式。而 $|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|$ 的第一列恰是 $(1,1,\cdots ,1{)}^{\mathrm{T}}$，故 $D_1=|\mathbf{A}|$，$D_2=\cdots =D_n=0$（有两列相同）。

于是 $x_1=\frac{D_1}{|\mathbf{A}|}=1,x_2=\cdots =x_n=0$，解为 $(1,0,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}$。（也可直接验证：${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 乘 $(1,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}$ 恰取出 $\mathbf{A}$ 的第一行即全 $1$ 列 $\mathbf{B}$。）