1996 年考研数学（三） 第 2 题

看到「$\int (\text{含 }f)\mathrm{d}x=$ 已知函数」→ 两边求导得被积表达式，解出 $1/f$ 再积分。坑：$1/f(x)$ 要先由求导定出 $f$，不能对 $\arcsin x+C$ 直接取倒数。

本题考查「由 $\int g\mathrm{d}x=F+C$ 反推 $g$」+ 凑微分积分。 关键是对已知等式两边求导，定出 $xf(x)$。

两边对 $x$ 求导：$xf(x)=(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，于是 $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$，从而 $\frac{1}{f(x)}=x\sqrt{1-x^2}$。

$\int \frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x=\int x\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int (1-x^2{)}^{1/2}\mathrm{d}(1-x^2)=-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{3/2}+C$。