1996 年考研数学（三） 第 1 题

看到幂指关系 $x=y^y$ 求 $\mathrm{d}y$ → 先两边取对数再隐式求导。坑：右端 $y\ln y$ 对 $x$ 求导要用乘积法则，两项都含 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

本题考查隐函数（幂指函数）求导。 幂指式 $x=y^y$ 直接求导困难，先两边取对数化为乘积。

两边取对数：$\ln x=y\ln y$。对 $x$ 求导：$\frac{1}{x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ln y+y\cdot \frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(1+\ln y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

解得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x(1+\ln y)}$，故 $\mathrm{d}y=\frac{1}{x(1+\ln y)}\mathrm{d}x$。