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1995 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 3 分

设矩阵

A_{m \times n}

的秩

r (A) = m < n

，

E_{m}

为

m

阶单位矩阵，下列结论中正确的是（　　）.

A $A$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关
B $A$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零
C若矩阵 $B$ 满足 $B A = O$ ，则 $B = O$
D $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $(E_{m}, O)$ 的形式

提示 1

r (A) = m

意味着

A

行满秩，但列数

n > m

，列向量组线性相关。

提示 2

对 C 用秩不等式：

B A = O \Rightarrow r (B) + r (A) \leq m

（

A

的行数）。

提示 3

逐一排除 A、B（把「存在」错说成「任意」）与 D（行变换一般给不出

(E_{m}, O)

）。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

B A = O

型 → 用

r (B) + r (A) \leq

（公共维数），再代入已知秩挤出

r (B) = 0

。坑：行满秩只保证「存在」

m

个无关列或某个非零

m

阶子式，不是「任意」。

解答

本题考查行满秩矩阵的性质与矩阵秩的不等式。

r (A) = m

说明

A

行满秩（

m

个行向量线性无关）。

C 正确：由

B A = O

得

r (B) + r (A) \leq m

，又

r (A) = m

，故

r (B) \leq 0

，即

r (B) = 0

，

B = O

。

其余错误：A、B 不成立（只保证存在

m

个无关列/某个

m

阶子式非零，而非任意）；D 一般只能化为

(E_{m}, O)

的列打乱形式，需列变换配合，仅靠初等行变换不必然得到该标准形。故选 C。

考点：矩阵的秩、初等变换与初等矩阵

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