1995 年考研数学（三） 第 9 题

问「必然」独立/相关 → 能算的先算相关系数：$\mathrm{Cov}(X-Y,X+Y)=D(X)-D(Y)$，同分布则为 $0$。坑：不相关（$\rho =0$）不等于独立，只能选「相关系数为零」。

本题考查协方差与相关系数的计算。 用协方差双线性性直接算 $\mathrm{Cov}(U,V)$。

因 $X,Y$ 独立同分布，$\mathrm{Cov}(U,V)=\mathrm{Cov}(X-Y,X+Y)=\mathrm{Cov}(X,X)-\mathrm{Cov}(Y,Y)=D(X)-D(Y)=0$。

从而 ${\rho }_{UV}=\frac{\mathrm{Cov}(U,V)}{\sqrt{D(U)}\sqrt{D(V)}}=0$，即 $U,V$ 必不相关。选 D。注：不相关未必独立，故 A、B 不能选。