1995 年考研数学（三） 第 10 题

正态概率里被比较的量是「$\sigma$ 的倍数」→ 标准化后 $\sigma$ 约掉，概率是常数。坑：$P\{|X-\mu |<k\sigma \}$ 对任意固定 $k$ 都与 $\sigma$ 无关。

本题考查正态分布的标准化。 把概率化到标准正态 $N(0,1)$ 上看是否含 $\sigma$。

由 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 得 $\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，于是 $P\{|X-\mu |<\sigma \}=P\left\{-1<\frac{X-\mu }{\sigma }<1\right\}=\Phi (1)-\Phi (-1)=2\Phi (1)-1$。

结果与 $\sigma$ 无关，为常数（约 $0.6826$），故概率保持不变。选 C。