1995 年考研数学（三） 第 11 题

分段函数在分界点讨论连续/可导 → 一律回到定义算左右极限、左右导数。坑：$x=0$ 是分界点，必须用 $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ 的极限判可导，别拿两侧公式各自求导的值来拼。

本题考查用极限与导数定义讨论分段函数在分界点的连续性、可导性。 需分别算左右极限、左右导数。

连续性： $f(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2(1-\cos x)}{x^2}=2\cdot \frac{1}{2}=1$；$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\cos t^{2}dt}{x}\stackrel{\text{洛}}{=}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\cos x^2=1$。因 $f(0^{-})=f(0)=f(0^{+})=1$，故 $f$ 在 $x=0$ 连续。

左导数： $f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{2(1-\cos x)}{x^2}-1}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2(1-\cos x)-x^2}{x^3}\stackrel{\text{洛}}{=}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2\sin x-2x}{3x^2}=\frac{2}{3}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^2}=0$。

右导数： $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}{\int }_0^x\cos t^{2}dt-1}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\int }_0^x\cos t^{2}dt-x}{x^2}\stackrel{\text{洛}}{=}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\cos x^2-1}{2x}=0$。

因 $f_{-}^{\prime }(0)=f_{+}^{\prime }(0)=0$，故 $f$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime }(0)=0$。