1995 年考研数学（三） 第 12 题

未知函数出现在变上限积分里 → 两边求导转成微分方程，再用积分方程本身在某点（常取 $x=0$）取初值。坑：上限是 $3x$，求导要乘 $3$；被积函数 $f(t/3)$ 在 $t=3x$ 处正是 $f(x)$。

本题考查含变上限积分的方程：先求导化为微分方程，再解一阶线性方程。 注意积分上限是 $3x$。

两边对 $x$ 求导：$\frac{d}{dx}{\int }_0^{3x}f\left(\frac{t}{3}\right)dt=f\left(\frac{3x}{3}\right)\cdot 3=3f(x)$，故 $f^{\prime }(x)=3f(x)+2{\mathrm{e}}^{2x}$，即 $f^{\prime }(x)-3f(x)=2{\mathrm{e}}^{2x}$。

一阶线性方程，通解 $f(x)={\mathrm{e}}^{3x}\left(\int 2{\mathrm{e}}^{2x}{\mathrm{e}}^{-3x}dx+C\right)={\mathrm{e}}^{3x}(-2{\mathrm{e}}^{-x}+C)=C{\mathrm{e}}^{3x}-2{\mathrm{e}}^{2x}$。

由原方程令 $x=0$ 得初始条件 $f(0)=0+{\mathrm{e}}^0=1$，代入 $C-2=1$，$C=3$。故 $f(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}-2{\mathrm{e}}^{2x}$。