1995 年考研数学（三） 第 13 题

$\ln (\text{二次式})$ 展开 → 先因式分解成 $(1+ax)(1+bx)$，再用 $\ln (1+u)$ 标准展开。坑：合并后收敛区间取两个子区间的交，端点要单独核（这里 $\ln (1-2x)$ 限制 $|x|<\frac{1}{2}$ 起主导）。

本题考查利用已知展开式（$\ln (1+x)$）间接展开。 先因式分解把对数拆成两项之和。

$1-x-2x^2=(1+x)(1-2x)$，故 $y=\ln (1+x)+\ln (1-2x)$。

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n(-1<x\le 1)$；$\ln (1-2x)=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(2x{)}^n}{n}=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n}{x}^n\left(-\frac{1}{2}\le x<\frac{1}{2}\right)$。

相加：$\ln (1-x-2x^2)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}-\frac{2^n}{n}\right]x^n=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}-2^n}{n}{x}^n$。两区间取交集，收敛区间为 $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。