1995 年考研数学（三） 第 14 题

全平面 ${\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}$ 权 + $\min \{x,y\}$ → 先用对称性去掉 $\min$，再化极坐标让 $r,\theta$ 分离；径向 ${\int }_0^{\infty }{r}^2{\mathrm{e}}^{-r^2}dr$ 用 $r^2=t$ 转 $\Gamma$。坑：$\min \{x,y\}$ 是奇性的组合，积分为负值。

本题考查全平面上的反常二重积分（极坐标 + 对称性）。 先在有限圆盘上算，再令半径 $\to +\infty$。

用对称性简化：设 $D_1=\{(x,y)\mid y<x\}$，在 $D_1$ 上 $\min \{x,y\}=y$，在其对称区域 $\min =x$，由 $x\leftrightarrow y$ 对称性 ${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\min \{x,y\}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}dxdy=2{\iint }_{D_1}y{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}dxdy$。

化极坐标（$D_1$ 对应 $\theta \in (-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4})$）：$=2{\int }_{-3\pi /4}^{\pi /4}\sin \theta d\theta {\int }_0^{+\infty }{r}^2{\mathrm{e}}^{-r^2}dr=-2\sqrt{2}{\int }_0^{+\infty }{r}^2{\mathrm{e}}^{-r^2}dr$。

令 $r^2=t$：${\int }_0^{+\infty }{r}^2{\mathrm{e}}^{-r^2}dr=\frac{1}{2}{\int }_0^{+\infty }{t}^{1/2}{\mathrm{e}}^{-t}dt=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{4}$。故原式 $=-2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{4}=-\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$。