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1995 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 6 分

设某产品的需求函数为

Q = Q (P)

，收益函数为

R = P Q

，其中

P

为产品价格，

Q

为需求量（产品的产量），

Q (P)

是单调减函数. 如果当价格为

P_{0}

，对应产量为

Q_{0}

时，边际收益

\frac{d R}{d Q}_{Q = Q_{0}} = a > 0

，收益对价格的边际效应

\frac{d R}{d P}_{P = P_{0}} = c < 0

，需求对价格的弹性为

E_{P} = b > 1

，求

P_{0}

和

Q_{0}

提示 1

写出需求价格弹性

E_{P} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P} = b

，解出

\frac{d Q}{d P} = - \frac{b Q}{P}

。

提示 2

R = P Q

对

Q

求导用

\frac{d P}{d Q} = 1/ \frac{d Q}{d P}

；对

P

求导直接用乘积法则。

提示 3

把两个边际条件分别令等于

a

、

c

，解出

P_{0}, Q_{0}

。

答案与详解

答案 $P_{0} = \frac{ab}{b - 1}, Q_{0} = \frac{c}{1 - b}$

思路（为什么这么做）

经济题给「边际收益 + 弹性」→ 把弹性化成

\frac{d Q}{d P} = - \frac{b Q}{P}

，代进

R = P Q

的两种边际公式：

\frac{d R}{d Q} = (1 - \frac{1}{b}) P

、

\frac{d R}{d P} = (1 - b) Q

。坑：弹性定义带负号（需求随价降），别丢。

解答

本题考查边际与弹性（经济应用）。 需求价格弹性

E_{P} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P} = b

，故

\frac{d Q}{d P} = - \frac{b Q}{P}

。

边际收益对 $Q$ ：

\frac{d R}{d Q} = P + Q \frac{d P}{d Q} = P + Q \cdot \frac{1}{d Q / d P} = P + Q \cdot (- \frac{P}{b Q}) = (1 - \frac{1}{b}) P

。由

\frac{d R}{d Q}_{Q_{0}} = a

得

(1 - \frac{1}{b}) P_{0} = a

，即

P_{0} = \frac{a}{1 - 1/ b} = \frac{ab}{b - 1}

。

收益对 $P$ ：

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} = Q + P (- \frac{b Q}{P}) = (1 - b) Q

。由

\frac{d R}{d P}_{P_{0}} = c

得

(1 - b) Q_{0} = c

，即

Q_{0} = \frac{c}{1 - b}

。

（注

b > 1, c < 0

，故

Q_{0} = \frac{c}{1 - b} > 0

，

P_{0} = \frac{ab}{b - 1} > 0

，符合实际意义.）

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、导数应用：最值、渐近线、作图

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