1995 年考研数学（三） 第 16 题

对称区间上「偶函数 × 满足 $f(x)+f(-x)=A$ 的函数」→ 积分 $=A{\int }_0^{a}g$。识别信号：$\arctan {\mathrm{e}}^x+\arctan {\mathrm{e}}^{-x}\equiv \frac{\pi }{2}$。坑：先验证 $f(x)+f(-x)$ 确为常数（求导法），再代结论。

本题考查对称区间积分的奇偶性性质及其应用。 结论 ${\int }_{-a}^{a}f(x)g(x)dx=A{\int }_0^{a}g(x)dx$，另一小问是用它算含 $|\sin x|\arctan {\mathrm{e}}^x$ 的积分。

(1) 证明： ${\int }_{-a}^{a}f(x)g(x)dx={\int }_0^a[f(-x)g(-x)+f(x)g(x)]dx$（把 $[-a,0]$ 段换元 $x\to -x$）。因 $g$ 为偶函数 $g(-x)=g(x)$，故 $={\int }_0^a[f(-x)+f(x)]g(x)dx=A{\int }_0^{a}g(x)dx$。

(2) 取 $g(x)=|\sin x|$（偶），$f(x)=\arctan {\mathrm{e}}^x$。验证 $f(x)+f(-x)=\arctan {\mathrm{e}}^x+\arctan {\mathrm{e}}^{-x}$：其导数 $\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^{2x}}-\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{1+{\mathrm{e}}^{-2x}}=0$，故为常数，取 $x=0$ 得 $A=\arctan 1+\arctan 1=\frac{\pi }{2}$。

由 (1)，${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}|\sin x|\arctan {\mathrm{e}}^{x}dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi /2}|\sin x|dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=\frac{\pi }{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}$。