1995 年考研数学（三） 第 17 题

证「若干向量线性无关（秩 = 个数）」→ 设组合为零，把可表示的向量（${\alpha }_4$）替换掉，归结到已知无关组（${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$）上逐系数为零。坑：${\alpha }_5-{\alpha }_4$ 里 ${\alpha }_5$ 的系数 $k_4$ 先被逼为 $0$，其余才随之为 $0$。

本题考查向量组的秩与线性相关性。 由三组秩的信息先弄清 ${\alpha }_4,{\alpha }_5$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 的关系。

由 $r(\mathrm{I})=3$ 知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关；由 $r(\mathrm{II})=3$ 知 ${\alpha }_4$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性表示，设 ${\alpha }_4=l_1{\alpha }_1+l_2{\alpha }_2+l_3{\alpha }_3$。由 $r(\mathrm{III})=4$ 知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$ 线性无关。

设 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3+k_4({\alpha }_5-{\alpha }_4)=0$，代入 ${\alpha }_4$ 的表示式整理得 $(k_1-l_1{k}_4){\alpha }_1+(k_2-l_2{k}_4){\alpha }_2+(k_3-l_3{k}_4){\alpha }_3+k_4{\alpha }_5=0$。

因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5$ 线性无关，各系数为 $0$：$k_4=0$，从而 $k_1=k_2=k_3=0$。故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_5-{\alpha }_4$ 线性无关，其秩为 $4$。