1995 年考研数学（三） 第 18 题

正交变换化标准形 → 写对称矩阵 $A$ → 求特征值特征向量 → 单位化（不同特征值已正交，同特征值需施密特）拼成 $Q$ → 标准形系数就是特征值。坑：交叉项系数要除以 $2$ 填对称位置；$Q$ 的列必须是单位正交向量。

本题考查二次型的矩阵表示与正交变换化标准形（实对称矩阵对角化）。

(1) 对角元取平方项系数、非对角元取交叉项系数的一半：$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -2\\ 2& 4& 4\\ -2& 4& -3\end{array}\right)$，则 $f(x_1,x_2,x_3)=X^{\mathrm{T}}AX$，其中 $X=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$。

(2) 由 $|\lambda E-A|=(\lambda +6)(\lambda -1)(\lambda -6)=0$ 得特征值 ${\lambda }_1=-6,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=6$。对应线性无关特征向量 ${\alpha }_1=(1,-1,2{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_2=(-2,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\alpha }_3=(1,5,2{)}^{\mathrm{T}}$（两两正交）。

单位化：${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,5,2{)}^{\mathrm{T}}$。令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3)$，作正交变换 $X=QY$，则 $f=-6y_1^2+y_2^2+6y_3^2$。