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1995 年考研数学（三）第 19 题

解答题 · 8 分

假设一厂家生产的每台仪器，以概率

0.70

可以直接出厂；以概率

0.30

需进一步调试，经调试后以概率

0.80

可以出厂；以概率

0.20

定为不合格品不能出厂. 现该厂新生产了

n (n \geq 2)

台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）. 求：(1) 全部能出厂的概率

α

；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率

β

；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率

θ

提示 1

先求一台能出厂的概率：直接出厂

0.70

加「需调试且调试后出厂」

0.30 \times 0.80

，得

p = 0.94

。

提示 2

n

台独立，能出厂台数

X \sim B (n, 0.94)

；「不能出厂」对应概率

0.06

。

提示 3

(3) 用对立事件：至少两台不能出厂

= 1 - P (0 台不能出厂) - P (恰 1 台不能出厂)

。

答案与详解

答案 $α = 0.9 4^{n}$ ； $β = C_{n}^{2} 0.9 4^{n - 2} 0.0 6^{2}$ ； $θ = 1 - 0.9 4^{n} - n \cdot 0.06 \cdot 0.9 4^{n - 1}$

思路（为什么这么做）

多台独立、每台成功概率相同 → 先用全概率求单台概率

p

，再套二项分布

B (n, p)

。「至少两台」用对立事件

1 - P (0) - P (1)

最快。坑：注意「不能出厂」的概率是

0.06

，恰两台不能出厂 = 恰

n - 2

台出厂。

解答

本题考查全概率公式求单台出厂概率，再用二项分布计算。 先求一台仪器能出厂的概率

p

。

记

A = {

需进一步调试

}

，

B = {

能出厂

}

。

B = \overset{ˉ}{A} \cup (A B)

（互斥），

P (\overset{ˉ}{A}) = 0.70

，

P (A B) = P (A) P (B ∣ A) = 0.30 \times 0.80 = 0.24

，故

p = P (B) = 0.70 + 0.24 = 0.94

，不能出厂概率

q = 0.06

。

设

X

为

n

台中能出厂的台数，则

X \sim B (n, 0.94)

。(1) 全部出厂：

α = P {X = n} = 0.9 4^{n}

。

(2) 恰两台不能出厂（即恰

n - 2

台出厂）：

β = C_{n}^{2} 0.9 4^{n - 2} 0.0 6^{2}

。(3) 至少两台不能出厂

= 1 - P {不能出厂 \leq 1} = 1 - P {X = n} - P {X = n - 1} = 1 - 0.9 4^{n} - n \cdot 0.06 \cdot 0.9 4^{n - 1}

。

考点：常见离散分布（二项、泊松、几何等）、全概率公式与贝叶斯公式

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