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1995 年考研数学（三）第 20 题

解答题 · 8 分

已知随机变量

X

和

Y

的联合概率密度为

φ (x, y) = {4 x y, 0, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 其他 .

求

X

和

Y

的联合分布函数.

提示 1

联合分布函数

F (x, y) = \iint_{u \leq x, v \leq y} φ (u, v) d u d v

，把积分限截断在密度非零的方块

[0, 1]^{2}

内。

提示 2

按

x, y

分别落在

< 0

、

[0, 1]

、

> 1

三段，组合出

5

个区域分段讨论。

提示 3

方块内

\int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 4 uv d v d u = x^{2} y^{2}

；当某坐标

> 1

时该方向积到

1

。

答案与详解

答案 $F (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} y^{2}, x^{2}, y^{2}, 1, 0, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq x \leq 1, y > 1, x > 1, 0 \leq y \leq 1, x > 1, y > 1, 其他 .$

思路（为什么这么做）

由联合密度求

F (x, y)

→ 对

(x, y)

相对支撑集

[0, 1]^{2}

的位置分区域，把上限超过

1

的方向截到

1

。坑：必须写出所有分段（含

x > 1

或

y > 1

的「饱和」区），只写方块内的

x^{2} y^{2}

不完整。

解答

本题考查由联合密度求联合分布函数 $F (x, y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} φ (u, v) d v d u$ 。 需按

(x, y)

落在哪个区域分段积分。

当

x < 0

或

y < 0

时，积分区域内密度为

0

，

F (x, y) = 0

。

当

0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1

时，

F (x, y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 4 uv d v d u = (\int_{0}^{x} 2 u d u) (\int_{0}^{y} 2 v d v) = x^{2} y^{2}

。

当

0 \leq x \leq 1, y > 1

时，

y

方向积到

1

：

F = \int_{0}^{x} 2 u d u \int_{0}^{1} 2 v d v = x^{2}

；当

x > 1, 0 \leq y \leq 1

时同理

F = y^{2}

；当

x > 1, y > 1

时全部积完

F = 1

。

考点：二维随机变量与联合分布、连续型随机变量及其概率密度

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