1995 年考研数学（三） 第 7 题

判反常积分敛散 → 定位瑕点/无穷限，用等价无穷小比 $\int \frac{dx}{x^p}$：瑕点处 $p\ge 1$ 发散、无穷限处 $p\le 1$ 发散。坑：$\frac{1}{\sin x}$ 在 $0$ 处等价于 $\frac{1}{x}$，是 $p=1$ 的瑕积分，发散。

本题考查反常积分的收敛性判别。 逐一分析瑕点/无穷限的阶。

A：$x=0$ 为瑕点，$\frac{1}{\sin x}\sim \frac{1}{x}$，而 ${\int }_0^1\frac{dx}{x}$ 发散（瑕点阶为 $1$，$\ge 1$ 即发散），故 A 发散。

B：${\int }_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x{|}_{-1}^1=\pi$，收敛；C：${\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，收敛；D：${\int }_2^{+\infty }\frac{dx}{x{\ln }^{2}x}=-\frac{1}{\ln x}{|}_2^{+\infty }=\frac{1}{\ln 2}$，收敛。故选 A。