1995 年考研数学（三） 第 4 题

求 $(A^{\ast }{)}^{-1}$ → 用 $A^{\ast }=|A|A^{-1}$ 反推 $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$（$A$ 可逆时）。坑：别去老实算伴随矩阵，直接用行列式与 $A$ 表示。

本题考查伴随矩阵与逆矩阵的关系。 关键公式：$A^{\ast }=|A|A^{-1}$。

$A$ 为下三角阵，$|A|=1\cdot 2\cdot 5=10\ne 0$，故 $A$ 可逆，$A^{\ast }=|A|A^{-1}=10A^{-1}$。

两边求逆：$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{10}A=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 2& 0\\ 3& 4& 5\end{array}\right)$。