1995 年考研数学（三） 第 5 题

单正态总体、$\sigma$ 未知、检验均值 → 用 $t=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$。（注：$t$ 检验本身属数一/超纲，但该统计量的构造靠抽样分布 $\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$，数三仍需掌握。）坑：$Q^2=\sum (X_i-\overline{X}{)}^2$ 是 $(n-1)S^2$，不是 $S^2$。

本题考查单正态总体关于均值的 $t$ 型统计量的构造。 ${\sigma }^2$ 未知，用样本方差代替。

样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{Q^2}{n-1}$，即 $S=\frac{Q}{\sqrt{n-1}}$。

在 $H_0:\mu =0$ 下，$\frac{\overline{X}-0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$，故 $t=\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}}=\frac{\overline{X}\sqrt{n}}{Q/\sqrt{n-1}}=\overline{X}\cdot \frac{\sqrt{n(n-1)}}{Q}$。