1995 年考研数学（三） 第 2 题

看到 $x{z}_x^{\prime }+y{z}_y^{\prime }$（一阶齐次算子）作用在 $z=xyf(y/x)$ 上 → 逐项求偏导后含 $f^{\prime }$ 的项必成对抵消。坑：$\frac{\partial (y/x)}{\partial x}=-y/x^2$ 的负号别丢。

本题考查抽象复合函数的偏导数。 记 $u=\frac{y}{x}$，对 $x,y$ 分别求偏导时把 $f$ 当复合函数处理。

$z_x^{\prime }=yf-\frac{y^2}{x}{f}^{\prime }$（因 $\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{y}{x^2}$）；$z_y^{\prime }=xf+y{f}^{\prime }$（因 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{x}$）。

于是 $x{z}_x^{\prime }+y{z}_y^{\prime }=(xyf-y^2{f}^{\prime })+(xyf+y^2{f}^{\prime })=2xyf\left(\frac{y}{x}\right)$。含 $f^{\prime }$ 的两项恰好抵消。