1995 年考研数学（三） 第 1 题

看到「分式函数求 $n$ 阶导数」→ 先把真分式分离常数、拆成 $\frac{c}{x+a}$ 型，再套 $[(x+a{)}^{-1}{]}^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+a{)}^{-(n+1)}$。坑：别对原分式硬求导，先分离常数。

本题考查 $n$ 阶导数。 直接对分式反复求导会越来越乱，应先把真分式分离出常数项。

$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=\frac{-(1+x)+2}{1+x}=-1+\frac{2}{x+1}$。

利用公式 $[(x+1{)}^{-1}{]}^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}$，常数 $-1$ 求导为 $0$，故 $f^{(n)}(x)=2\cdot (-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}=\frac{2(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$。