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1993 年考研数学（三） 第 8 题
选择题 · 3 分
阶矩阵 具有 个不同的特征值，是 与对角矩阵相似的（ ）.
- A充分必要条件
- B充分非必要条件
- C必要非充分条件
- D既非充分又非必要条件
提示 1
回忆定理： 个互异特征值 可对角化（充分性成立）。提示 2
找反例判必要性：可对角化但特征值有重根的矩阵（如 、任意实对称有重特征值者）。提示 3
充分成立、必要不成立 → 充分非必要。答案与详解
答案 B
思路（为什么这么做）
「 个不同特征值」与「可对角化」：前者 后者（充分），反之不成立（单位阵是反例）。坑：可对角化的充要条件是「每个特征值几何重数=代数重数」，互异特征值只是它的一个充分特例。
解答
本题考查可对角化的判定。 定理：若 阶矩阵有 个互异特征值，则一定可对角化——所以「 个不同特征值」是可对角化的充分条件。
但不必要：例如单位阵 特征值全为 （不互异）却可对角化。故「 个不同特征值」并非可对角化的必要条件。
综上为充分非必要条件，选 B。
但不必要：例如单位阵 特征值全为 （不互异）却可对角化。故「 个不同特征值」并非可对角化的必要条件。
综上为充分非必要条件，选 B。