1993 年考研数学（三） 第 7 题

变限积分求导：$[{\int }_{\phi }^{\psi }f{]}^{\prime }=f(\psi ){\psi }^{\prime }-f(\phi ){\phi }^{\prime }$。坑：下限求导带负号，而这里 ${\phi }^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ 又是负的，负负得正，最终两项相加（选 A 而非 C）。

本题考查变限积分求导（上、下限均为函数）。 公式：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_{\phi (x)}^{\psi (x)}f(t)\mathrm{d}t=f(\psi ){\psi }^{\prime }-f(\phi ){\phi }^{\prime }$。

这里上限 $\psi =\ln x$，${\psi }^{\prime }=\frac{1}{x}$；下限 $\phi =\frac{1}{x}$，${\phi }^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$。

故 $F^{\prime }(x)=f(\ln x)\cdot \frac{1}{x}-f\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x}f(\ln x)+\frac{1}{x^2}f\left(\frac{1}{x}\right)$，选 A。