1993 年考研数学（三） 第 6 题

分段点判连续/可导：连续看 $\lim f=f(0)$（有界振荡×无穷小可夹逼），可导看差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 极限。坑：$\sqrt{|x|}$ 使函数连续，但差商多出 $\frac{1}{\sqrt{|x|}}\to \infty$ 导致不可导——连续未必可导。

本题考查用极限与导数定义判分段函数在一点的连续性、可导性。 先看连续：$\left|\sqrt{|x|}\sin \frac{1}{x^2}\right|\le \sqrt{|x|}\to 0$，由夹逼 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0)$，故 $f$ 在 $x=0$ 连续（排除 A、B）。

再看可导：$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{|x|}}{x}\sin \frac{1}{x^2}$，其中 $\frac{\sqrt{|x|}}{x}=\pm \frac{1}{\sqrt{|x|}}\to \infty$ 而 $\sin \frac{1}{x^2}$ 振荡，该极限不存在，故 $f$ 在 $x=0$ 不可导。

综上，$f$ 在 $x=0$ 连续但不可导，选 C。