1993 年考研数学（三） 第 3 题

看到 $\sum a^n$（常数的 $n$ 次幂）→ 归为几何级数，先验 $|r|<1$，再套 $\frac{\text{首项}}{1-r}$。坑：$\ln 3\approx 1.099$ 但 $\ln 3/2<1$ 才收敛；起始 $n=0$ 时首项是 $1$。

本题考查几何级数求和。 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(\ln 3{)}^n}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{\ln 3}{2}\right)}^n$ 是公比 $r=\frac{\ln 3}{2}$ 的等比级数。

因 $|r|=\frac{\ln 3}{2}\approx 0.549<1$，级数收敛，由 $\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n=\frac{1}{1-r}$ 得和 $=\frac{1}{1-\frac{\ln 3}{2}}=\frac{2}{2-\ln 3}$。