1993 年考研数学（三） 第 2 题

看到 $y=f(\text{某分式})$ 且给出 $f^{\prime }(x)=\dots$ → 链式法则，且把 $f^{\prime }$ 的自变量整体替换为内函数。坑：$f^{\prime }(u)=\arctan u^2$ 不是 $\arctan x^2$，务必先算出内函数在该点的值再代。

本题考查复合函数求导（链式法则）。 设 $u=\frac{3x-2}{3x+2}$，则 $y=f(u)$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$，注意 $f^{\prime }(u)=\arctan u^2$。

内层求导：$u^{\prime }=\frac{3(3x+2)-3(3x-2)}{(3x+2{)}^2}=\frac{12}{(3x+2{)}^2}$。

代 $x=0$：$u=\frac{-2}{2}=-1$，$f^{\prime }(-1)=\arctan (-1{)}^2=\arctan 1=\frac{\pi }{4}$，$u^{\prime }(0)=\frac{12}{4}=3$，故 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}{|}_0=\frac{\pi }{4}\cdot 3=\frac{3\pi }{4}$。