1993 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$x\to \infty$ 时 $(\text{有理式})\cdot \sin (\text{趋}0)$」→ 先确认 $\sin$ 内为无穷小，用 $\sin u\sim u$ 化掉，再比有理式最高次。坑：只有括号内趋 0 才能用等价无穷小。

本题考查 $\infty \cdot 0$ 型（含正弦无穷小）的极限。 当 $x\to \infty$ 时 $\frac{2}{x}\to 0$，可用 $\sin u\sim u$。

凑因子：$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+5}{5x+3}\sin \frac{2}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2+5}{5x+3}\cdot \frac{2}{x}\cdot \frac{\sin (2/x)}{2/x}$。

由 $\frac{\sin (2/x)}{2/x}\to 1$，且 $\frac{3x^2+5}{5x+3}\cdot \frac{2}{x}=\frac{6x^2+10}{5x^2+3x}\to \frac{6}{5}$，故原式 $=\frac{6}{5}$。