1993 年考研数学（三） 第 18 题

多小问概率题：独立+同分布把 $P(A\cup B)$ 化成关于 $P(A)$ 的一元二次；求期望用 $E[g(X)]=\int gf$。坑：解出的概率/常数要落在合理范围（$P\le 1$、$0<a<2$）；$E(1/X^2)$ 中 $1/x^2$ 与密度 $\frac{3}{8}{x}^2$ 相乘约简后积分极简，别被 $1/x^2$ 在 0 附近吓到（密度在 $(0,2)$ 才非零）。

本题考查连续型随机变量求概率、事件独立性、随机变量函数的数学期望。 （1）$X,Y$ 同分布故 $P(A)=P(B)$；又 $A,B$ 独立，$P(AB)=P(A)P(B)=P^2(A)$。

由 $\frac{3}{4}=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2P(A)-P^2(A)$，即 $P^2(A)-2P(A)+\frac{3}{4}=0$，解得 $P(A)=\frac{1}{2}$（另一根 $\frac{3}{2}>1$ 舍）。

再由 $P(A)=P\{X>a\}=1-{\int }_0^a\frac{3}{8}{x}^2\mathrm{d}x=1-\frac{a^3}{8}=\frac{1}{2}$，得 $a^3=4$，$a=\sqrt[3]{4}$（且 $0<a<2$）。

（2）$E\left(\frac{1}{X^2}\right)={\int }_0^2\frac{1}{x^2}\cdot \frac{3}{8}{x}^2\mathrm{d}x={\int }_0^2\frac{3}{8}\mathrm{d}x=\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{3}{4}$。