1993 年考研数学（三） 第 19 题

泊松过程（次数服从泊松）→ 相邻事件间隔服从指数分布，桥梁是 $\{T>t\}=\{N(t)=0\}$。第二问认出「已工作 8 小时再运行 8 小时」是无记忆性 $P\{T\ge 16\mid T\ge 8\}=P\{T\ge 8\}$。坑：指数分布参数是 $\lambda$（不是 $\lambda t$）；无记忆性把条件概率直接降为无条件。

本题考查泊松过程导出指数分布、以及指数分布的无记忆性。 $\{N(t)=k\}$ 表示长为 $t$ 的时段内发生 $k$ 次故障，$P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}(k=0,1,2,\dots )$。

（1）设 $T$ 为相继两次故障的时间间隔，$F(t)$ 为其分布函数。当 $t<0$，$F(t)=0$；当 $t\ge 0$，$F(t)=P\{T\le t\}=1-P\{T>t\}$。

事件 $\{T>t\}$ 等价于「长为 $t$ 的时段内无故障」即 $\{N(t)=0\}$，其概率 ${\mathrm{e}}^{-\lambda t}$。故 $F(t)=1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}(t\ge 0)$，即 $T$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，密度 $f(t)=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}(t\ge 0)$。

（2）由指数分布无记忆性：$Q=P\{T\ge 16\mid T\ge 8\}=P\{T\ge 8\}=1-F(8)={\mathrm{e}}^{-8\lambda }$。