1993 年考研数学（三） 第 17 题

正交变换化标准形 → 标准形系数即特征值，可用「迹=特征值和、行列式=特征值积、$|{\lambda }_{i}E-A|=0$」列方程求参数。坑：只用 $|A|=0$ 只能得 $\alpha =\beta$，还需再用某个具体特征值（如 $\lambda =1$）的 $|E-A|=0$ 才能唯一确定。

本题考查正交变换下二次型与特征值的对应（相似不变量）。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha & 1\\ \alpha & 1& \beta \\ 1& \beta & 1\end{array}\right)$，$f=X^{\mathsf{T}}AX$。

正交变换化为 $f=y_2^2+2y_3^2=0\cdot y_1^2+1\cdot y_2^2+2\cdot y_3^2$，故 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1,{\lambda }_3=2$。

由 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=0$。而 $|A|=-(\alpha -\beta {)}^2$，故 $-(\alpha -\beta {)}^2=0\Rightarrow \alpha =\beta$。

又 $\lambda =1$ 是特征值，$|E-A|=0$：$E-A=\left(\begin{array}{ccc}0& -\alpha & -1\\ -\alpha & 0& -\alpha \\ -1& -\alpha & 0\end{array}\right)$，$|E-A|=-2{\alpha }^2=0\Rightarrow \alpha =0$。故 $\alpha =\beta =0$。（trace $=3=0+1+2$ 自动相符。）