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1993 年考研数学（三）第 16 题

解答题 · 10 分

k

为何值时，线性方程组

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + x_{2} + k x_{3} = 4, - x_{1} + k x_{2} + x_{3} = k^{2}, x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 4

有唯一解、无解、无穷多组解？在有解情况下，求出其全部解.

提示 1

先算系数行列式

∣ A ∣ = (k + 1) (4 - k)

，

∣ A ∣ \neq = 0

时唯一解。

提示 2

两个临界值

k = - 1, k = 4

分别代回，对增广阵作初等行变换比较

r (A)

与

r (\overline{A})

。

提示 3

k = 4

时

r (A) = r (\overline{A}) = 2 < 3

：写出一个特解加基础解系得通解。

答案与详解

答案 $k \neq = - 1$ 且 $k \neq = 4$ ：唯一解 $x_{1} = \frac{k ^{2} + 2 k}{k + 1}, x_{2} = \frac{k ^{2} + 2 k + 4}{k + 1}, x_{3} = \frac{- 2 k}{k + 1}$ ； $k = - 1$ ：无解； $k = 4$ ：无穷多解 $X = t (- 3, - 1, 1)^{T} + (0, 4, 0)^{T}$ （ $t$ 任意）

思路（为什么这么做）

含参方程组：先用

∣ A ∣

找唯一解条件，再对使

∣ A ∣ = 0

的每个参数值单独用「

r (A)

与

r (\overline{A})

」判无解/无穷多解。坑：

k = - 1

与

k = 4

结果不同（一个无解、一个无穷多解），必须分别化简增广阵，不能只看行列式为零就下结论。

解答

本题考查含参线性方程组按系数行列式与秩讨论解的情况。 系数行列式

∣ A ∣ = 1 - 1 1 1 k - 1 k 12 = (k + 1) (4 - k)

。

（1）当

k \neq = - 1

且

k \neq = 4

时

∣ A ∣ \neq = 0

，唯一解。由克拉默法则

x_{1} = \frac{k ^{2} + 2 k}{k + 1}, x_{2} = \frac{k ^{2} + 2 k + 4}{k + 1}, x_{3} = \frac{- 2 k}{k + 1}

。

（2）当

k = - 1

：增广阵

\overline{A} \to 100 1 - 2 0 - 1 30 4 - 8 5

，

r (A) = 2 \neq = r (\overline{A}) = 3

，方程组无解。

（3）当

k = 4

：

\overline{A} \to 100010310040

，

r (A) = r (\overline{A}) = 2 < 3

，有无穷多解。特解

(0, 4, 0)^{T}

，导出组基础解系

(- 3, - 1, 1)^{T}

，通解

X = t (- 3, - 1, 1)^{T} + (0, 4, 0)^{T}

（

t

为任意常数）。

考点：非齐次线性方程组解的结构、线性方程组解的判定、克拉默法则

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