1993 年考研数学（三） 第 15 题

要证「存在 $\xi$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$」→ 先设法找两点使 $f^{\prime }$ 相等，再对 $f^{\prime }$ 用罗尔。本题的桥梁是「三点共线 ⇒ 两段割线斜率相等 ⇒ 两个 $f^{\prime }$ 值相等」。坑：拉格朗日用在两个子区间上，罗尔用在 $f^{\prime }$ 上（而非 $f$）。

本题考查拉格朗日中值定理与罗尔定理的连用（导数等值 → 更高阶导数为零）。 因 $A,C,B$ 三点共线，直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$，且 $C$ 在此直线上，故 $\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=k=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}$。

在 $[0,c]$ 上对 $f$ 用拉格朗日中值定理：存在 $c_1\in (0,c)$，$f^{\prime }(c_1)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}$；在 $[c,1]$ 上：存在 $c_2\in (c,1)$，$f^{\prime }(c_2)=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}$。

由上式两个差商都等于 $k$，得 $f^{\prime }(c_1)=f^{\prime }(c_2)$。$f^{\prime }$ 在 $[c_1,c_2]$ 上连续、$(c_1,c_2)$ 内可导，对 $f^{\prime }$ 用罗尔定理：存在 $\xi \in (c_1,c_2)\subset (0,1)$，使 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$。证毕。