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1993 年考研数学（三）第 14 题

解答题 · 8 分

假设：（1）函数

y = f (x) (0 \leq x < + \infty)

满足

f (0) = 0

和

0 \leq f (x) \leq e^{x} - 1

；（2）平行于

y

轴的动直线

M N

与曲线

y = f (x)

和

y = e^{x} - 1

分别相交于点

P_{1}

和

P_{2}

；（3）曲线

y = f (x)

、直线

M N

与

x

轴所围成封闭图形的面积

S

恒等于线段

P_{1} P_{2}

的长度. 求函数

y = f (x)

的表达式.

提示 1

设直线横坐标

x

，写出

∣ P_{1} P_{2} ∣ = (e^{x} - 1) - f (x)

与面积

S = \int_{0}^{x} f (t) d t

。

提示 2

令二者相等得积分方程，对

x

求导化去积分，得

f^{'} + f = e^{x}

。

提示 3

一阶线性方程用积分因子

e^{x}

求通解，再用

f (0) = 0

定常数。

答案与详解

答案 $f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}$

思路（为什么这么做）

「面积/积分 = 某表达式」型 → 两边求导把积分方程变成微分方程。本题得一阶线性

f^{'} + f = e^{x}

，用积分因子

e^{\int 1 d x} = e^{x}

。坑：求导前先把面积正确写成

\int_{0}^{x} f

（下限用初始点 0），别漏初值

f (0) = 0

定

C

。

解答

本题考查把几何条件（面积=线段长）翻译成积分方程，再求导化为一阶线性微分方程。 设动直线横坐标为

x

，则

P_{1} (x, f (x))

，

P_{2} (x, e^{x} - 1)

，线段长

∣ P_{1} P_{2} ∣ = (e^{x} - 1) - f (x)

，面积

S = \int_{0}^{x} f (t) d t

。

由

S = ∣ P_{1} P_{2} ∣

：

\int_{0}^{x} f (t) d t = e^{x} - 1 - f (x)

。两边对

x

求导：

f (x) = e^{x} - f^{'} (x)

，即

f^{'} (x) + f (x) = e^{x}

。

这是一阶线性方程，乘积分因子

e^{x}

：

[e^{x} f (x)]^{'} = e^{2 x}

，积分得

e^{x} f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + C

，即

f (x) = \frac{1}{2} e^{x} + C e^{- x}

。

由

f (0) = 0

得

\frac{1}{2} + C = 0

，

C = - \frac{1}{2}

，故

f (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

。（可验证

0 \leq f (x) \leq e^{x} - 1

成立。）

考点：一阶微分方程（可分离、齐次、一阶线性）、定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）

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