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1993 年考研数学（三）第 13 题

解答题 · 9 分

设某产品的成本函数为

C = a q^{2} + b q + c

，需求函数为

q = \frac{1}{e} (d - p)

，其中

C

为成本，

q

为需求量（即产量），

p

为单价，

a, b, c, d, e

都是正的常数，且

d > b

，求：（1）利润最大时的产量及最大利润；（2）需求对价格的弹性；（3）需求对价格弹性的绝对值为

1

时的产量.

提示 1

先把价格用产量表示

p = d - e q

，写出利润

L = pq - C

并整理成

q

的二次式。

提示 2

（1）令

L^{'} (q) = 0

求驻点，

L^{''} < 0

确认最大，代回算

L_{m a x}

。

提示 3

（2）(3) 弹性定义

η = \frac{d q / d p}{q / p}

，令

∣ η ∣ = 1

解出产量。

答案与详解

答案（1） $q = \frac{d - b}{2 ( e + a )}$ ， $L_{m a x} = \frac{( d - b ) ^{2}}{4 ( e + a )} - c$ ；（2） $η = \frac{e q - d}{e q}$ ；（3） $q = \frac{d}{2 e}$

思路（为什么这么做）

经济最优化三件套：利润

L = pq - C

且

p

由需求反解；极值用

L^{'} = 0, L^{''} < 0

；弹性用

η = \frac{d q / d p}{q / p}

。坑：需求弹性通常为负，「绝对值为 1」要对

∣ η ∣

列方程；成本里的常数

c

不影响驻点但进入

L_{m a x}

。

解答

本题考查经济应用：利润最大化（极值）与需求弹性（数三特色）。 由需求函数得

p = d - e q

，利润

L = pq - C = (d - e q) q - (a q^{2} + b q + c) = (d - b) q - (e + a) q^{2} - c

。

（1）

\frac{d L}{d q} = (d - b) - 2 (e + a) q = 0 \Rightarrow q = \frac{d - b}{2 ( e + a )}

；又

\frac{d ^{2} L}{d q ^{2}} = - 2 (e + a) < 0

，故此产量取最大利润

L_{m a x} = \frac{( d - b ) ^{2}}{4 ( e + a )} - c

。

（2）需求对价格的弹性

η = \frac{d q / d p}{q / p} = \frac{p}{q} \cdot \frac{d q}{d p}

，其中

\frac{d q}{d p} = - \frac{1}{e}

，

p = d - e q

，代入得

η = \frac{e q - d}{e q}

（为负，反映需求随价升而降）。

（3）

∣ η ∣ = \frac{d - e q}{e q} = 1 \Rightarrow d - e q = e q \Rightarrow q = \frac{d}{2 e}

。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、函数的单调性与极值

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