1993 年考研数学（三）第 12 题

解答题 · 7 分

已知

x \to \infty lim (\frac{x - a}{x + a})^{x} = \int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x

，求常数

a

的值.

提示 1

左边是

1^{\infty}

：写成

(1 + \frac{- 2 a}{x + a})^{x}

，用

(1 + \frac{1}{u})^{u} \to e

凑出

e^{- 2 a}

。

提示 2

右边反常积分：换元

t = 2 x

化简，再对

t^{2} e^{- t}

连续两次分部积分。

提示 3

两边都带公因子

e^{- 2 a}

，约去后解二次方程

2 a^{2} + 2 a = 0

。

答案与详解

答案 $a = 0$ 或 $a = - 1$

思路（为什么这么做）

信号「

(\frac{x - a}{x + a})^{x}

」→

1^{\infty}

型取指数极限

e^{- 2 a}

；「

\int_{a}^{\infty} x^{2} e^{- 2 x}

」→ 两次分部或伽马思路。坑：两边同含

e^{- 2 a}

可整体约去；勿漏

a = 0

这个根。

解答

本题考查 $1^{\infty}$ 型极限与反常积分（分部积分），再解方程定 $a$ 。 左边：

(\frac{x - a}{x + a})^{x} = (1 + \frac{- 2 a}{x + a})^{x}

，凑成

[(1 + \frac{- 2 a}{x + a})^{- \frac{x + a}{2 a}}]^{- 2 a \cdot \frac{x}{x + a}} \to e^{- 2 a}

。

右边：令

t = 2 x

，

\int_{a}^{+ \infty} 4 x^{2} e^{- 2 x} d x = \frac{1}{2} \int_{2 a}^{+ \infty} t^{2} e^{- t} d t

。

两次分部积分：

\frac{1}{2} \int_{2 a}^{+ \infty} t^{2} e^{- t} d t = 2 a^{2} e^{- 2 a} + 2 a e^{- 2 a} + e^{- 2 a}

。

于是

2 a^{2} e^{- 2 a} + 2 a e^{- 2 a} + e^{- 2 a} = e^{- 2 a}

，约去

e^{- 2 a} (> 0)

得

2 a^{2} + 2 a = 0

，即

2 a (a + 1) = 0

，故

a = 0

或

a = - 1

。

1993 年考研数学（三） 第 12 题