1993 年考研数学（三） 第 11 题

隐函数求 $\mathrm{d}z$：直接对方程两边取全微分最省事（无需分别求两个偏导）。坑：$x{\mathrm{e}}^{z-y-x}$ 是乘积×复合，微分时既有 ${\mathrm{e}}^u\mathrm{d}x$ 又有 $x{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u$，$\mathrm{d}u$ 里含 $\mathrm{d}z$，最后要把含 $\mathrm{d}z$ 的项归拢。

本题考查由方程确定的隐函数求全微分。 对方程两边取全微分（记 $u=z-y-x$，$\mathrm{d}u=\mathrm{d}z-\mathrm{d}y-\mathrm{d}x$）：

$\mathrm{d}z-\mathrm{d}y-\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}x+x{\mathrm{e}}^u(\mathrm{d}z-\mathrm{d}y-\mathrm{d}x)=0$，其中 $\mathrm{d}(x{\mathrm{e}}^u)={\mathrm{e}}^u\mathrm{d}x+x{\mathrm{e}}^u\mathrm{d}u$。

合并同类项：$(1+x{\mathrm{e}}^u)\mathrm{d}z=(1-{\mathrm{e}}^u+x{\mathrm{e}}^u)\mathrm{d}x+(1+x{\mathrm{e}}^u)\mathrm{d}y$。

故 $\mathrm{d}z=\frac{1+x{\mathrm{e}}^u-{\mathrm{e}}^u}{1+x{\mathrm{e}}^u}\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$（$u=z-y-x$）。等价地 $\frac{\partial z}{\partial x}=1-\frac{{\mathrm{e}}^u}{1+x{\mathrm{e}}^u}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=1$。