1993 年考研数学（三） 第 10 题

密度为偶函数（关于 $0$ 对称）→ ${\int }_{-\infty }^0\phi =\frac{1}{2}$，且 $F(-a)+F(a)=1$。坑：不要误选 $F(-a)=F(a)$（那是分布函数对称，此处不成立）；核心用「偶密度⇒左右半各占 $\frac{1}{2}$」。

本题考查密度对称（偶函数）时分布函数的性质。 $F(-a)={\int }_{-\infty }^{-a}\phi (x)\mathrm{d}x$，令 $x=-t$ 并用 $\phi$ 为偶：$={\int }_a^{+\infty }\phi (t)\mathrm{d}t$。

又 ${\int }_a^{+\infty }\phi =1-{\int }_{-\infty }^a\phi =1-\left({\int }_{-\infty }^0\phi +{\int }_0^a\phi \right)$。

由对称性 ${\int }_{-\infty }^0\phi =\frac{1}{2}$，故 $F(-a)=1-\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi (x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi (x)\mathrm{d}x$，选 B。