1992 年考研数学（三） 第 7 题

「谁是更高阶无穷小」→ 各求等价主部的幂次，次数最大者最高阶。坑：$x-\tan x$ 要展开到 $x^3$（$\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3$），只取一阶会误判。

本题考查无穷小的阶（用等价无穷小/泰勒展开比较）。 「更高阶」即主部幂次更高。逐一确定阶数。

$x^2$ 为二阶；$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$ 为二阶；$\sqrt{1-x^2}-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$ 也是二阶。

而 $\tan x=x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)$，故 $x-\tan x\sim -\frac{1}{3}{x}^3$ 为三阶——阶数最高，选 D。