1992 年考研数学（三） 第 6 题

$\frac{1}{x-a}{\int }_a^{x}f$（$x\to a$）→ 认成 ${\int }_a^{x}f$ 在 $a$ 处的导数 $=f(a)$，或洛必达。坑：选项「不存在」是干扰，$f$ 连续保证极限存在且为 $a^{2}f(a)$。

本题考查变上限积分与导数定义（$\frac{0}{0}$ 型极限）。 当 $x\to a$ 时 ${\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t\to 0$，$x-a\to 0$。

$\underset{x\to a}{\lim }F(x)=\underset{x\to a}{\lim }{x}^2\cdot \frac{{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x-a}=a^2\underset{x\to a}{\lim }\frac{{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x-a}$。

后一极限恰是 $G(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 在 $x=a$ 处的导数 $G^{\prime }(a)=f(a)$（或对 $\frac{0}{0}$ 型用洛必达，分子求导得 $f(x)$）。故极限 $=a^{2}f(a)$，选 B。