1992 年考研数学（三） 第 4 题

反对角分块 $\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$ → 直接套 $(-1{)}^{mn}|A||B|$。坑：指数是两块阶数之积 $mn$，不是 $m+n$。

本题考查反对角分块矩阵的行列式。 利用公式 $\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|$（$A$ 为 $m$ 阶，$B$ 为 $n$ 阶）。

推导：把 $A$ 所在的 $m$ 列整体移到最前（越过 $B$ 所在的 $n$ 列），共作 $mn$ 次相邻列对换，产生因子 $(-1{)}^{mn}$，化为块对角形 $\left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=|A||B|$。

故 $|C|=(-1{)}^{mn}|A||B|=(-1{)}^{mn}ab$。