1992 年考研数学（三） 第 3 题

交换次序 → 先画区域，把 $x=$ 边界翻译成 $y=$ 边界，看竖直线穿过时上边界是否改变。坑：右边界是圆弧 $x^2+y^2=2$，交点 $(1,1)$ 处上边界由抛物线变圆弧，必须拆成两段。

本题考查二重积分交换积分次序（先画区域再重新投影）。 由内外限知积分区域 $D=\{(x,y)\mid \sqrt{y}⩽x⩽\sqrt{2-y^2},0⩽y⩽1\}$。左边界 $x=\sqrt{y}$ 即 $y=x^2$，右边界 $x=\sqrt{2-y^2}$ 即 $x^2+y^2=2$。

两曲线交于 $(1,1)$。改为先对 $y$ 后对 $x$ 积分时，竖直线扫过区域，上边界在 $x=1$ 处发生变化，需分两段：$0⩽x⩽1$ 时 $0⩽y⩽x^2$；$1⩽x⩽\sqrt{2}$ 时 $0⩽y⩽\sqrt{2-x^2}$。

故 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}f\mathrm{d}y+{\int }_1^{\sqrt{2}}\mathrm{d}x{\int }_0^{\sqrt{2-x^2}}f\mathrm{d}y$。