1992 年考研数学（三） 第 2 题

含 $(x-2{)}^{2n}$ 的幂级数 → 比值/根值法求 $|x-2|<R$，再单独代端点判敛。坑：端点化成调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，收敛域是开区间 $(0,4)$。

本题考查幂级数收敛域（求收敛半径 + 端点判敛）。 这是关于 $(x-2)$ 的幂级数，用比值法：$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(x-2{)}^2}{4}\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{|x-2{|}^2}{4}$。

令该极限 $<1$ 得 $|x-2{|}^2<4$，即 $|x-2|<2$，也就是 $0<x<4$。

再看端点：$x=0$ 或 $x=4$ 时 $(x-2{)}^{2n}=4^n$，级数化为 $\sum \frac{1}{n}$（调和级数）发散。故收敛域为 $(0,4)$。