1991 年考研数学（三） 第 6 题

见「$(1\pm \frac{1}{x}{)}^{\pm x}$」先看自变量趋向：$x\to \infty$ 才是 ${\mathrm{e}}^{\pm 1}$；$x\to 0^{+}$ 时 $(1+\frac{1}{x}{)}^x\to 1$。坑：把 $x\to 0^{+}$ 误当重要极限套 $\mathrm{e}$。

本题考查幂指函数极限与两个重要极限的辨析，关键区分 $x\to 0^{+}$ 与 $x\to \infty$。

(A)：$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x={\mathrm{e}}^{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (1+1/x)}$。令 $t=1/x\to +\infty$，指数 $=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=0$，故极限 $={\mathrm{e}}^0=1$，正确。

排除：$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{x}\right)}^x={\mathrm{e}}^{-1}\ne -\mathrm{e}$（C 错）；$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{-x}={\mathrm{e}}^{-1}\ne \mathrm{e}$（D 错）；(B) 与 (A) 矛盾。故选 A。