1991 年考研数学（三）第 7 题

选择题 · 3 分

设

0 \leq a_{n} < \frac{1}{n} (n = 1, 2, \dots)

，则下列级数中一定收敛的是（　　）.

提示 1

能被收敛级数控制的才一定收敛，重点看平方项。

提示 2

(D)：

a_{n}^{2} < 1/ n^{2}

，比较收敛的

\sum 1/ n^{2}

⇒ 绝对收敛。

提示 3

A、C 取

a_{n} = \frac{1}{2 n}

即发散；B 无单调性，莱布尼茨失效。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「

0 \leq a_{n} < 1/ n

，哪个级数必收敛」→ 找能与收敛

p

-级数比较的：

a_{n}^{2} < 1/ n^{2}

绝对收敛。坑：

\sum a_{n}, \sum a_{n}

可发散，交错但非单调不能套莱布尼茨。

解答

本题考查级数收敛判别（正项比较 + 绝对收敛）。 已知

0 \leq a_{n} < \frac{1}{n}

。

(D)：

(- 1)^{n} a_{n}^{2} = a_{n}^{2} < \frac{1}{n ^{2}}

，而

\sum \frac{1}{n ^{2}}

（

p = 2

）收敛，由比较判别法

\sum a_{n}^{2}

收敛，故

\sum (- 1)^{n} a_{n}^{2}

绝对收敛，一定收敛。

排除：取

a_{n} = \frac{1}{2 n} < \frac{1}{n}

，则

\sum a_{n}

、

\sum a_{n}

均发散（A、C 错）；(B) 中

{a_{n}}

未必单调，莱布尼茨条件不满足，也可能发散。故选 D。

1991 年考研数学（三） 第 7 题