1991 年考研数学（三） 第 4 题

反对角分块 $\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)$ 求逆 → 逆也反对角 $\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$（换位再各取逆）。坑：$B^{-1}$ 在右上、$A^{-1}$ 在左下，别放反。

本题考查反对角分块矩阵求逆。 设 $X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)$，由 $X{X}^{-1}=E$。

$\left(\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{X}_{11}& X_{12}\\ X_{21}& X_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E& O\\ O& E\end{array}\right)$ 得 $A{X}_{21}=E,A{X}_{22}=O,B{X}_{11}=O,B{X}_{12}=E$。

因 $A,B$ 可逆：$X_{21}=A^{-1},X_{22}=O,X_{11}=O,X_{12}=B^{-1}$，故 $X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right)$。