乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 1991 年

1991 年考研数学（三）第 3 题

填空题 · 3 分

设

f (x) = x e^{x}

，则

f^{(n)} (x)

在点

x =

______ 处取极小值 ______.

提示 1

先求几阶导找规律：

f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x}

。

提示 2

对

f^{(n)}

求极值即令

f^{(n + 1)} (x) = 0

。

提示 3

得驻点

x = - (n + 1)

，代回算极小值

- e^{- (n + 1)}

。

答案与详解

答案 $x = - (n + 1)$ ，极小值为 $- \frac{1}{e ^{n + 1}}$

思路（为什么这么做）

「

f^{(n)}

在何处取极值」→ 先归纳出

f^{(n)} (x)

通式，再令

f^{(n + 1)} = 0

找驻点判号。坑：

x e^{x}

的

n

阶导是

(x + n) e^{x}

。

解答

本题考查高阶导数（归纳求 $n$ 阶导）+ 极值判定。

f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}, f^{''} (x) = (x + 2) e^{x}

，归纳得

f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x}

。

对

f^{(n)} (x)

求极小值：令

f^{(n + 1)} (x) = (x + n + 1) e^{x} = 0 \Rightarrow x = - (n + 1)

；且

x < - (n + 1)

时

f^{(n + 1)} < 0

，

x > - (n + 1)

时

f^{(n + 1)} > 0

，故为极小值点。

极小值

f^{(n)} (- (n + 1)) = (- (n + 1) + n) e^{- (n + 1)} = - \frac{1}{e ^{n + 1}}

。

考点：高阶导数、函数的单调性与极值

← 1991 年全部题目