1991 年考研数学（三） 第 2 题

「都过某点 + 公共切线」→ 列「两函数值都为 0」+「两导数在该点相等」共 3 个方程。坑：公共切线是导数相等，别只用过点条件。

本题考查导数的几何意义：曲线过定点 + 公共切线（切点处函数值相等且导数相等）。

过点 $(-1,0)$：$f(-1)=-1-a=0\Rightarrow a=-1$；$g(-1)=b+c=0$。

公共切线即在 $x=-1$ 处斜率相等：$f^{\prime }(x)=3x^2+a,g^{\prime }(x)=2bx$，故 $f^{\prime }(-1)=3+a=g^{\prime }(-1)=-2b$。将 $a=-1$ 代入得 $2=-2b\Rightarrow b=-1$，再由 $b+c=0$ 得 $c=1$。